Monte-Carlo-Methode

Was ist die Monte-Carlo-Methode?
Die Monte Carlo (MC) Methode wurde vom Team des großen ungarischen Mathematikers John von Neumann im Zweiten Weltkrieg entwickelt. John von Neumann (1903-1957) ist ein ungarischer Mathematiker, Physiker, Wirtschaftstheoretiker, Schöpfer der Theorie der Spiele und Professor der Mathematik in Princeton.

In den Jahren 1943-1955 arbeitete er an der Diffusion von Neutronen im Labor von Los Alamos und benutzte diese Methode zum ersten Mal, um die zufällige Natur der Teilchenbewegung zu beschreiben. Der Name Monte Carlo sollte die zufällige (Glücksspiel-) Natur von Phänomenen anzeigen.




Die Monte-Carlo-Methode wird in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Numerik verwendet. Sie enthält Berechnungen für randomisierte Algorithmen. Sie dient zur mathematischen Modellierung von komplexen Prozessen (Integralrechnung, Ketten statistischer Prozesse), so dass deren Ergebnisse mit einem analytischen Ansatz vorhergesagt werden können.

Diese Methode kann überall dort angewendet werden, wo das untersuchte Problem theoretisch in einem stochastischen Ansatz beschrieben werden kann, obwohl das Problem selbst streng deterministisch sein kann. Es wird insbesondere in der statistischen Physik und der Bayesschen Statistik verwendet. Das Wesen der Rolle in der Monte-Carlo-Methode ist die zufällige Auswahl der charakterisierenden Parameter des Prozesses und betrifft dies sowohl die Verteilungen einfacher als auch komplexer Prozesse.

Es besteht aus folgenden Hauptteilen: die Formulierung von stochastischen Modellen der untersuchten von realen Prozessen, Modellierung von Zufallsvariablen mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, Lösung des statistischen Problems auf dem Gebiet der Schätztheorie.

Aus mathematischer Sicht sind die Stufen der Monte-Carlo-Algorithmen in Wege unterteilt, Zufallsvariablen zu erzeugen und dann ihre Fehler zu reduzieren und die Genauigkeit zu schätzen.



Messung des Marktrisikos – Value-at-Risk

Das Marktrisiko ist eine Folge von Preisänderungen an den Finanzmärkten. Klassischerweise werden sie anhand der Abweichung von der Standardrendite berechnet. Value-at-Risk ist definiert als der Wertverlust von Vermögenswerten, so dass die Wahrscheinlichkeit, sie zu erhalten, dem akzeptierten Toleranzniveau entspricht (normalerweise eine kleine Zahl nahe Null).

Value-at-Risk ist für längere Zeiträume höher und sein Wert sinkt mit steigendem Konfidenzniveau (Konfidenz- und Toleranzgrenzen summieren sich zu 100%). Der Value at Risk wird anhand des Quantils der Renditeverteilung berechnet. Zur Schätzung wird in der Regel einer der folgenden Ansätze verwendet:

  • Methode der Varianz-Kovarianz – Annahme einer Normalverteilung der Renditen.
  • Historische Simulationsmethode – Besteht darin, die vergangenen Renditen eines bestimmten Finanzinstruments zu berücksichtigen. Zum Beispiel werden die Renditen von jedem folgenden Tag berücksichtigt und ihre empirische Verteilung wird auf ihrer Grundlage bestimmt. Die Wirksamkeit dieser Methode hängt von Änderungen des Wertes der Kurse ab. Wenn sich dies in der Vergangenheit nicht geändert hat, ist diese Methode weniger effektiv.
  • Monte-Carlo-Methode – Es zeichnet sich durch das höchste Niveau der Weiterentwicklung aus. Erfahrungen und Ergebnisse aus früheren empirischen Erfahrungen werden berücksichtigt. Basierend darauf wird mit Hilfe der geometrischen Brownschen Bewegung ein hypothetisches Modell zur Bildung dieser „Füße>“ erstellt. Als nächstes wird eine große Anzahl von Simulationen des Wertes der Rückkehrquoten erstellt und auf deren Basis ein Quantil der Verteilung der Renditen erhalten, was wiederum ermöglicht, einen Value-at-Risk zu erhalten.


Die Monte-Carlo-Methode in 12 Schritten

Die Monte-Carlo-Methode wird in Klassen von Simulationsmethoden eingeteilt. Die Monte-Carlo-Simulation umfasst zwölf Schritte:

  1. Angabe des Parameters, der die Grundlage für die Messung eines bestimmten finanziellen Problems bildet, z. B. Gewinn , Schuldenstand oder Rendite,
  2. Erstellen eines Finanzmodells des untersuchten Problems unter Verwendung mathematischer Beziehungen zwischen den wichtigsten Variablen, z. B. deterministische Variablen, die nur einen Wert akzeptieren, oder Zufallsvariablen, die viele Werte annehmen,
  3. Bestimmung der geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung für jede Zufallsvariable,
  4. die Wahrscheinlichkeitsverteilung jeder Zufallsvariablen muss in eine kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung transformiert werden,
  5. Jedem Wert einer Zufallsvariablen muss ein entsprechender Zufallswert zugewiesen werden.
  6. Für jede Zufallszahl muss es möglich sein, eine Zufallszahl zu erzeugen,
  7. jeder Zufallszahl muss der entsprechende Wert einer Zufallsvariablen zugewiesen werden,
  8. der geeignete Wert der Zufallsvariablen, der im vorherigen Schritt ermittelt wurde, muss verwendet werden, um das grundlegende Maß eines gegebenen Problems zu bestimmen,
  9. der in Schritt 8 ermittelte Wert muss beachtet werden,
  10. wiederhole die Schritte 6-9 oft,
  11. der Wert des Basismaßes, der von Schritt 9 gespeichert wurde, wird zur Grundlage für die Bestimmung seiner Wahrscheinlichkeitsverteilung und der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung,
  12. Die in Schritt 11 erstellte kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung muss analysiert werden, wobei die Parameter der deskriptiven Statistik bestimmt werden.

Das Hauptproblem beim Lösen dieser Methoden besteht darin, die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und erwarteten Werten von Zufallsvariablen zu bestimmen.

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